麻将·清一色的一个结论(2):门前清一色不成功的理论概率

知恥而後勇

清一色的一个结论(2)
门前清一色不成功的理论概率
一般的麻将中，门前清的清一色到底有多罕见？南3局过罢，自己落入了四位，把追分机会交托给清一色胡牌究竟可靠不可靠？作者计算出了理想状况下门前清一色必不成的概率。
证明可能有疏漏、不正规或者不够严谨的地方，欢迎大佬私信交流和指正！
作者:3THLDT
<hr/>一、准备工作
(1)作者计算出的是立直麻将和国标麻将门前清一色不成功的理论概率。
每种花色都无法超过13张，就不可能门前清一色听牌，至于混一色以及字一色则不考虑。
有一种花色超过了13张，可能听牌，也可能不听牌。由于涉及牌形的问题且组合数占比很小，作者计算时直接省略了。理论上，必不成清一色的概率还要再高一点。
另外，实战具有更加复杂的场面。作者计算的理想情况，是指:
刚刚开局，打开手牌之前的状况(完全先验)
忽略dora指示牌信息(完全先验)
全场无副露(不打乱牌山牌序，不接受其他牌)
自摸至流局(牌不中断的全部摸完)

实战影响概率的因素:
1.受已知信息约束，要使用贝叶斯定理修正概率。
2.场面任何一个牌行为有可能直接改变概率。
3.受未知信息约束，如牌山不透明等导致自己不能按照完美状况去保留、打出牌。

(2)立直麻将中，牌山一共是4×(9×3+7)=136张.
其中，王牌14张。分给四家的牌数不一样，可以看做各自的小牌山:
东、南家:手牌13+山牌18=31张
西、北家:手牌13+山牌17=30张
这就像每家都有一个小袋子，把属于自己的牌装进袋子里取，四家的牌数量、种类其实是完全固定的，但是因为袋子不透明，谁也不知道自己有什么牌，所以只能用概率计算。

(3)国标麻将中，牌山一共是4×(9×3+7)+8=144张，没有王牌，多8张花牌。
由于摸到花牌后可以补牌，对洗好牌的固定的大牌山来说，花牌并没有改变每位玩家的小牌山的牌，所以可直接忽略花牌影响。
(但是摸牌顺序已经不是固有的间隔顺序了，小牌山也并非可预测的间隔分布)
分给四家的牌数一样，各自的小牌山:
136/4=34张

(4)花色分万、筒(饼)、条(索)，各自36张。
还有字牌，共28张。

二、计算
用母函数法，先计算三种花色以及字牌摸牌数的所有方法。
每种花色≤12，且字牌数∈[0,28]，摸30、31、34张牌的方法数
等价于计算母函数
G（t）=(\sum_{i=0}^{36}{t^i})^3\sum_{j=0}^{28}{t^j}
中 t^{30} 、 t^{31} 、t^{34} 的系数.
可得的系数.
可得
t^{30}系数为2137，
t^{31}系数为2152，
t^{34}系数为2137.
即
摸30张牌有2137种花色数组合，
摸31张牌有2152种花色数组合，
摸34张牌有2137种花色数组合.
(可使用多项式展开计算器计算系数)

从136张含有四种牌的牌中摸30张牌，满足四维超几何分布.使用excel表格将总组合数列出来，校验组合数是否正确，然后求和计算概率.
详情请查看附表中的“门前清一色不成功组合数表”.
计算出概率
P(30失败)≈94.446%
P(31失败)≈92.283%
P(34失败)≈81.969%

三、结论
立直麻将中，门前清一色必然不成功的理论概率为92.283%(东南家)、94.446%(西北家)。
可谓相当困难，实战清一色要副露的情况居多。
国标麻将中，门前清一色必然不成功的理论概率为81.969%
要把握好吃、碰、杠的机会，没必要刻意追求门前清和不求人。
附表：
门前清一色不成功组合数表
......（前略）


......（前略）


......（前略）